小學六年級奧數精選：數字數位問題
來源：大連奧數網整理 2011-12-15 17:52:56
小學六年級奧數精選：數字數位問題
1．把1至2005這2005個自然數依次寫下來得到一個多位數123456789.....2005,這個多位數除以9余數是多少?
解：
首先研究能被9整除的數的特點：如果各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數也能被9整除；如果各個位數字之和不能被9整除，那么得的余數就是這個數除以9得的余數。
解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次類推：1~1999這些數的個位上的數字之和可以被9整除
10~19，20~29……90~99這些數中十位上的數字都出現了10次，那么十位上的數字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除
同樣的道理，100~900 百位上的數字之和為4500 同樣被9整除
也就是說1~999這些連續的自然數的各個位上的數字之和可以被9整除；
同樣的道理：1000~1999這些連續的自然數中百位、十位、個位 上的數字之和可以被9整除（這里千位上的“1”還沒考慮，同時這里我們少200020012002200320042005
從1000~1999千位上一共999個“1”的和是999，也能整除；
200020012002200320042005的各位數字之和是27，也剛好整除。
最后答案為余數為0。
2．A和B是小于100的兩個非零的不同自然數。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)
前面的 1 不會變了，只需求后面的最小值，此時 (A-B)/(A+B) 最大。
對于 B / (A+B) 取最小時，(A+B)/B 取最大，
問題轉化為求 (A+B)/B 的最大值。
(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1
(A+B)/B = 100
(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100
