四年級奧數基礎第四講：數的整除（一）(2)

　　例2 在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5＋6＋□＋2＝13＋□

　　應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；

　　如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；

　　如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。

　　到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。

　　例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。

　　解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。

　　例4 五位數能被72整除，問：A與B各代表什么數字？

　　分析與解：已知能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質數，所以既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要求能被8整除，由此可確定B＝6。再根據能被9整除的數的特征，的各位數字之和為

　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

　　因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內只有27能被9整除，所以A＝7。

　　解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的數字就容易確定了。