四年級奧數基礎第十九講：乘法原理(2)
來源：大連奧數網整理 2012-02-07 17:16:34
例5 求360共有多少個不同的約數。
分析與解：先將360分解質因數，
360＝2×2×2×3×3×5，
所以360的約數的質因數必然在2，3，5之中。為了確定360的所有不同的約數，我們分三步進行：
第1步確定約數中含有2的個數，可能是0，1，2，3個，即有4種可能；
第2步確定約數中含有3的個數，可能是0，1，2個，即有3種可能；
第3步確定約數中含有5的個數，可能沒有，也可能有1個，即有2種可能。
根據乘法原理，360的不同約數共有
4×3×2＝24（個）。
由例5得到：如果一個自然數N分解質因數后的形式為
其中P1，P2，…，Pl都是質數，n1，n2…，nl都是自然數，則N的所有約數的個數為：
�。╪1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。
利用上面的公式，可以很容易地算出某個自然數的所有約數的個數。例如，11088＝24×32×7×11，11088共有不同的約數
�。�4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（個）。
例6 有10塊糖，每天至少吃一塊，吃完為止。問：共有多少種不同的吃法？
分析與解：將10塊糖排成一排，糖與糖之間共有9個空。從頭開始，如果相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，那么就在其間畫一條線。下圖表示10塊糖分在五天吃：第一天吃2塊，第二天吃3塊，第三天吃1塊，第四天吃2塊，第五天吃2塊。因為每個空都有加線與不加線兩種可能，根據乘法原理，不同的加線方法共有29＝512（種）。因為每一種加線方法對應一種吃糖的方法，所以不同的吃法共有512種。
練習19
1.有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問：有多少種不同的裝束？
2.四角號碼字典，用4個數碼表示一個漢字。小王自編一個“密碼本”，用3個數碼（可取重復數字）表示一個漢字，例如，用“011”代表漢字“車”。問：小王的“密碼本”上最多能表示多少個不同的漢字？
3.“IMO”是國際數學奧林匹克的縮寫，把這3個字母寫成三種不同顏色�，F在有五種不同顏色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IMO”？
4.在下圖的方格紙中放兩枚棋子，要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問：共有多少種不同的放法？
5.要從四年級六個班中評選出學習和體育先進集體各一個（不能同時評一個班），共有多少種不同的評選結果？
6.甲組有6人，乙組有8人，丙組有9人。從三個組中各選一人參加會議，共有多少種不同選法？
7.用四種顏色給下圖的五塊區域染色，要求每塊區域染一種顏色，相鄰的區域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？
