四年級奧數基礎第十六講：數陣圖（一）
來源：大連奧數網整理 2012-02-07 16:23:55
四年級奧數基礎包括很多題型，為了幫助小學四年級的孩子學習奧數，大連奧數網整理了小學四年級奧數基礎講義。下面是四年級奧數基礎第十六講：數陣圖（一）。有例題有練習，大家一起來學習吧！
四年級奧數基礎第十六講：數陣圖（一）
我們在三年級已經學習過輻射型和封閉型數陣，其解題的關鍵在于“重疊數”。本講和下一講，我們學習三階方陣，就是將九個數按照某種要求排列成三行三列的數陣圖，解題的關鍵仍然是“重疊數”。我們先從一道典型的例題開始。
例1 把1～9這九個數字填寫在右圖正方形的九個方格中，使得每一橫行、每一豎列和每條對角線上的三個數之和都相等。
分析與解：我們首先要弄清每行、每列以及每條對角線上三個數字之和是幾。我們可以這樣去想：因為1～9這九個數字之和是45，正好是三個橫行數字之和，所以每一橫行的數字之和等于45÷3=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對角線上三個數字之和都等于15。
在1～9這九個數字中，三個不同的數相加等于15的有：
9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，
8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每條對角線上的三個數字可以是其中任一個算式中的三個數字。
因為中心方格中的數既在一個橫行中，又在一個豎列中，還在兩對角線上，所以它應同時出現在上述的四個算式中，只有5符合條件，因此應將5填在中心方格中。同理，四個角上的數既在一個橫行中，又在一個豎列中，還在一條對角線上，所以它應同時出現在上述的三個算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應將2，4，6，8填在四個角的方格中，同時應保證對角線兩數的和相等。經試驗，有下面八種不同填法：
上面的八個圖，都可以通過一個圖的旋轉和翻轉得到。例如，第一行的后三個圖，依次由第一個圖順時針旋轉90°，180°，270°得到。又如，第二行的各圖，都是由它上面的圖沿豎軸翻轉得到。所以，這八個圖本質上是相同的，可以看作是一種填法。
例1中的數陣圖，我國古代稱為“縱橫圖”、“九宮算”。一般地，將九個不同的數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列和每條對角線上的三個數之和都相等，那么這樣的圖稱為三階幻方。
在例1中如果只要求任一橫行及任一豎列的三數之和相等，而不要求兩條對角線上的三數之和也相等，則解不唯一，這是因為在例1的解中，任意交換兩行或兩列的位置，不影響每行或每列的三數之和，故仍然是解。
例2 用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個三階幻方。
分析與解：給出的九個數形成一個等差數列，對照例1，1～9也是一個等差數列。不難發現：中間方格里的數字應填等差數列的第五個數，即應填19；填在四個角上方格中的數是位于偶數項的數，即13，17，21，25，而且對角兩數的和相等，即13＋25=17＋21；余下各數就不難填寫了（見右圖）。
與幻方相反的問題是反幻方。將九個數填入3×3（三行三列）的九個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方。
例3 將前9個自然數填入右圖的9個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數之和互不相同，并且相鄰的兩個自然數在圖中的位置也相鄰。
分析與解：題目要求相鄰的兩個自然數在圖中的位置也相鄰，所以這9個自然數按照大小順序在圖中應能連成一條不相交的折線。經試驗有下圖所示的三種情況：
按照從1到9和從9到1逐一對這三種情況進行驗算，只有第二種情況得到下圖的兩個解。因為第二種情況是螺旋形，故本題的解稱為螺旋反幻方。
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