四年級奧數基礎第十八講：數陣圖（三）(2)

　　例4 在下圖的六個○內各填入一個質數（可取相同的質數），使它們的和等于20，而且每個三角形（共5個）頂點上的數字之和都相等。

   

　　分析與解：因為大三角形的三個頂點與中間倒三角形的三個頂點正好是圖中的六個○，又因為每個三角形頂點上的數字之和相等，所以每個三角形頂點上的數字之和為20÷2＝10。10分為三個質數之和只能是2＋3＋5，由此得到下圖的填法。

   

　　例5 在下圖所示立方體的八個頂點上標出1～9中的八個，使得每個面上四個頂點所標數字之和都等于k，并且k不能被未標出的數整除。

   

　　分析與解：設未被標出的數為a，則被標出的八個數之和為1＋2＋…＋9-a＝45-a。由于每個頂點都屬于三個面，所以六個面的所有頂點數字之和為

　　6k＝3×（45-a），

　　2k＝45-a。

　　2k是偶數，45－a也應是偶數，所以a必為奇數。

　　若a＝1，則k＝22；

　　若a＝3，則k＝21；

　　若a＝5，則k＝20；

　　若a＝7，則k＝19；

　　若a＝9，則k＝18。

　　因為k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合條件。

　　由于每個面上四個頂點上的數字之和等于19，所以與9在一個面上的另外三個頂點數之和應等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三個數之和等于10的有三組：

　　10＝1＋3＋6

　�。�1＋4＋5

　�。�2＋3＋5，

　　將這三組數填入9所在的三個面上，可得下圖的填法。